Výpočet zatíženého děliče.

[Brozicek]

Mám tady ještě jeden zdánlivě jednoduchý příklad.
Výpočet napětí na zatíženém děliči je muška, pokud znám oba odpory děliče R1 a R2 a odpor zátěže Rz.
Otázka je nyní položena obráceně. Dělič tvoří potenciometr hodnoty 100 Ω, a zátěž Rz má 600 Ω.
Má se vypočítat, do jaké polohy se má nastavit potenciometr, aby při vstupním napětí 12 V bylo na zátěži napětí 6 V. Čili jaké hodnoty musí mít R1 a R2, když odpor potenciometru je R1 + R2 = 100 Ω.
U mne pro výpočet vychází řešení nechutně složitých rovnic. Asi jsem už starý a hůř mi to myslí.
Lze takto položenou úlohu vypočítat nějakým geniálně jednoduchým postupem?
Při nastavení potenciometru v horní polovině na 48 Ω a dolní polovině 52 Ω je na zátěži 600 Ω napětí 5,99 V. To je však výpočet přibližný s odhadnutým nastavením potenciometru na 48/52 Ω. Jaké hodnoty se vypočtou přesným matematickým postupem? Jak by to vycházelo, pokud by zátěž byla poloviční jen 300 Ω ?

[Lukas-Peca]

Nejprve si napíšeme výraz pro celkový proud obvodu:

I = Uz / (Rhp + (Rdp*Rz) / (Rdp+Rz))

kde Uz je napětí zdroje, Rhp odpor horní poloviny, Rdp dolní, Rz odpor zátěže.

Rhp = Rp - Rdp

Rp je odpor potenciometru.

I = Idp + Iz

dosadíme Idp = Uvýst / Rdp a Iz = Uvýst / Rz

Dáme to celé do sebe a vyjde nám:

Uvýst / Rdp + Uvýst / Rz = Uz / (Rp - Rdp + (Rdp*Rz) / (Rdp + Rz))

Z toho bychom měli vyjádřit Rdp, což by byla docela divočina, ale dosazením známých hodnot se to zjednoduší a vyjde Rdp = 52,0797 ohm.

[LADER]

Zdravím, v programu wxMaxima jsem odvodil obecný vzorec (první část), takže stačí dosadit (druhá část):

[tomasjedno]

Zkusím napsat trochu přehlednější postup:
Rz odpor zátěže
Rp odpor celého potenciometru
Rdp odpor dolní části potenciometru
Zavedu si substituci α = Rdp/R

Dělič má dělit napětí přesně na polovinu, takže se úloha zjednoduší: odpor horní části děliče musí být roven odporu dolní části děliče. A nejen odpor, ale taky vodivost (tzn. jednodušší vzorec)
1/[R.(1-α)] = 1/Rz + 1/(α.R)
Po vynásobení Rz a substituci β = Rz/R (pro přehlednost) dostanu
β/(1-α) = 1 + β/α
Odtud rovnice
α² + α.(2β-1) - β = 0
má kořeny α₁₂= 0,5 - β ± √(β²+1/4), z nich jen jeden je kladný
α = 0,5 - β + √(β²+1/4)
a pro hodnoty β = 6 (tj. Rz=600 Ω) je α = 0,520797…,
pro β = 3 (tj. Rz=300 Ω) je α = 0,541381…

[tomasjedno]

Zkusím napsat trochu přehlednější postup:
Rz odpor zátěže
Rp odpor celého potenciometru
Rdp odpor dolní části potenciometru
Zavedu si substituci α = Rdp/R

Dělič má dělit napětí přesně na polovinu, takže se úloha zjednoduší: odpor horní části děliče musí být roven odporu dolní části děliče. A nejen odpor, ale taky vodivost (tzn. jednodušší vzorec)
1/[R.(1-α)] = 1/Rz + 1/(α.R)
Po vynásobení Rz a substituci β = Rz/R (pro přehlednost) dostanu
β/(1-α) = 1 + β/α
Odtud rovnice
α² + α.(2β-1) - β = 0
má kořeny α₁₂= 0,5 - β ± √(β²+1/4), z nich jen jeden je kladný
α = 0,5 - β + √(β²+1/4)
a pro hodnoty β = 6 (tj. Rz=600 Ω) je α = 0,520797…,
pro β = 3 (tj. Rz=300 Ω) je α = 0,541381…

[Brozicek]

Došel jsem ke stejným dlouhým nechutným vzorcům. Bylo mi líno dosadit hodnoty a počítat.
Myslel jsem, že to musí jít jednodušeji, a že nejsem dost chytrý (opačně že jsem bl..).
Rozhodně to není snadná výpočetní úloha pro studenta 1. ročníku střední školy. Kolega "Lukas-Peca" to nazval divočinou a měl pravdu. Kolega "LADER" si s tím vzorně pohrál. Kolega "tomasjedno" došel jako já ke kvadratické rovnici. Kvadratické rovnice jsem nepotřeboval od skončení školy řešit. Tak jsem to vzdal a sepsal toto vlákno.

Jinak díky za dotažení sestavených rovnic až vypočteným výsledkům. Snaha se cení a výsledky se dostavily.

[Lukas-Peca]

[LADER]

Nahoře jsem uvedl obecné řešení, kde lze dosadit různá napětí.
Pokud zvolíme natvrdo poměr děliče na polovinu, pak se vzorec výrazně zjednoduší (nedosazujeme napětí):

R1 jsem změníl na Rh (horní část odporové dráhy) a
R2 jsem změnil na Rd (dolní část odporové dráhy)
Rp je odpor potenciometru
Rz odpor zátěže (v předchozím příspěvku jsem použil pouze R)

[termit256]

Otazka je, jestli potrebujes vedet ten vzorecek, nebo jen rychle vysledek.
Pokud jen potrebujes znat hodnoty odporu, tak bez nejakeho velkeho premysleni a ztraceni casu budovanim rovnic s nejistym vysledkem je asi nejrychlejsi si to nakreslit v nejakem simulatoru. Treba i v tomhle v tomhle.

Odkaz skryt

[Lukas-Peca]

Student střední školy si to při písemce asi těžko bude kreslit v simulátoru. Podle mě je to naopak výborný příklad, který člověka nutí přemýšlet mimo své zvyklosti. Každý to začne školometsky řešit přes vyjadřování výrazů a dospěje k nějaké šílené rovnici, u které se bude hodinu mořit a pak to stejně nevyjde, protože v průběhu udělá chybu. A přitom stačí si to zadání prohlídnout pořádně a zamyslet se.

[termit256]

Jo jasne, kdyz to potrebuje do skloly, tak v simulatoru tezko.
Kdybych to ale potreboval do nejakeho zapojeni, tak jdu cestou nejvetsi efektivity = nechme praci strojum. A na nejake zamyslovani si radeji necham celkovy koncept budovaneho zarizeni, nez se morit s mechanickymi vypocty ktere comp zvladne rychleji.

[Brozicek]

Zjednodušení tím, že je v tomto příkladu výstupní napětí rovno polovině vstupního napětí, platí jen pro tu polovinu. Kdyby výsupní napětí mělo mit např. 3,6 V, tak se asi budou muset řešit ty šíleně dlouhé rovnice podle kolegy "LADER", ke kterým jsem také původně došel, ale neměl jsem chuť je řešit jak to udělal LADER.
Zadání vypadá na první pohled jako jednoduchá úloha, ale jak se ukazuje, opak je pravdou.

[tomasjedno]

[tomasjedno]

[tomasjedno]

[tomasjedno]

[tomasjedno]

[tomasjedno]

[xsc]

No v tomhle zapojení prostě připojím voltmetr a správně hnu tím potenciometrem